Θεωρία αριθμών και εφαρμογές - Αντωνιάδης, Ιωάννης; Κοντογεώργης, Αριστείδης; Θεοχάρη Αποστολίδου, Θεοδώρα (Αθήνα : Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών, 2015)
Το βιβλίο αποτελεί μία εισαγωγή στην Θεωρία Αριθμών. Ιδιαίτερη έμφαση έχει δοθεί στην ιστορική εξέλιξη των ιδεών καθώς και στις εφαρμογές. Υπερκαλύπτει τις ανάγκες διδασκαλίας του αντίστοιχου μαθήματος σε ΟΛΑ τα Τμήματα Μαθηματικών της Χώρας. Η φιλοσοφία του είναι ότι, μέχρι σχεδόν το τέλος του 9ου Κεφαλαίου, να μην γίνει χρήση άλλων πιο προχωρημένων μαθημάτων, όπως Άλγεβρας κ.λ.π. αλλά η Άλγεβρα να στηριχθεί στη γνώση της βασικής Αριθμοθεωρίας. Αυτό γίνεται και για έναν επιπλέον λόγο. Η Άλγεβρα στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης, όπου υπηρετώ, διδάσκεται ουσιαστικά στο 6ο εξάμηνο και είναι πολύ αργά για να ακολουθήσει στοιχειώδες μάθημα Θεωρίας Αριθμών.Η Θεωρία των Αριθμών ανήκε για αιώνες στους κλάδους των, λεγόμενων Θεωρητικών Μαθηματικών. Όμως τα τελευταία 35 χρόνια έχει βρει πολύ ενδιαφέρουσες εφαρμογές στην Κρυπτογραφία και την Κωδικοποίηση. Δεν είναι υπερβολή να πούμε ότι όλα τα συστήματα ασφαλείας σήμερα των Τραπεζών και όχι μόνο στηρίζονται σε μεθόδους και τεχνικές της Θεωρίας Αριθμών. Έτσι δεν είναι δυνατόν να διδάσκεται σήμερα χωρίς την παραμικρή αναφορά στις εφαρμογές της, όπως διδασκόταν πριν από 50 ή και 100 χρόνια. Ο φοιτητής οφείλει να γνωρίζει σε βάθος τις "ριζες" της Θεωρίας, την ιστορία της, αλλά πρέπει να "γεύεται" και τους καρπούς της που είναι οι εφαρμογές της.Το βιβλίο χωρίζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος αφορά στην Αριθμητική των Ρητών Αριθμών. Χωρίζεται σε πέντε Κεφάλαια. Το δεύτερο μέρος αφορά στην Aριθμητική των Aρρήτων ποσοτήτων δευτέρου βαθμού, (τετραγωνικών ριζών.) Αποτελείται από πέντε Κεφάλαια. Μέχρι και το ένατο Κεφάλαιο δεν χρειάζονται έξτρα γνώσεις. Το δέκατο Κεφάλαιο προαπαιτεί έλάχιστα στοιχεία Θεωρίας Galois, τα οποία θα παρουσιαστούν εν συντομία στο τέλος του βιβλίου.Το Κεφάλαιο αυτό αποτελεί την "γέφυρα " εισαγωγής στην Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών.
Αριθμοδεικτία των ρητών αριθμών∆ιαιρετότητα και πρώτοι αριθμοί 1.1 Το σύνολο των ακεραίων 1.2 ∆ιαιρετότητα1.3 Πρώτοι αριθμοί1.4 Το αξίωμα του Bertrand 1.5 Μ.Κ.∆.και Ε.Κ.Π. 1.6 Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη 1.7 Το θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής ∆ιοφαντικές εξισώσεις 832.1 Εισαγωγή2.2 Γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις 2.3 Πυθαγόρειες τριάδες 3 Επώνυμοι ακέραιοι 3.1 Φίλοι αριθμοί3.2 Τέλειοι αριθμοί3.3 Παραγοντοποίηση και κρυπτογραφία Ισοδυναμίες4.1 Εισαγωγή4.2 Η συνάρτηση φ 4.3 Γραμμικές ισοδυναμίες και συστήματα 4.4 Εφαρμογές των ισοδυναμιών4.5 ́Υψωση σε δύναμεις και εύρεση ρίζας4.6 Κρυπτογραφία4.7 Ισοδυναμίες ανωτέρου βαθμού4.8 Παραγοντοποίηση 4.9 Αλγόριθμοί παραγοντοποίησης ακεραίων αριθμών5 Τετραγωνικά Υπόλοιπα 1995.1 Ισοτιμίες δευτέρου βαθμού5.2 Ο τετραγωνικός νόμος αντιστροφής5.3 Σύνθετοι ακέραιοι 5.4 n-σταυπόλοιπα, αρχικές ρίζες και δείκτεςII ́Αρρητοι αριθμοί και αριθμητική 6 Αριθμοί Fibonacci 6.1 Αριθμοί Fibonacci6.2 Αριθμοί Lucas6.4 Ακολουθίες Lucas7 Συνεχή κλάσματα7.1 Συνεχή κλάσματα ρητών αριθμών 7.2 Ιδιότητες των συγκλινόντων7.3 Γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις7.4 Το συνεχές κλάσμα ενός πραγματικού αριθμού7.5 Η βέλτιστη προσέγγιση7.6 Ισοδύναμοι αριθμοί7.7 Περιοδικά συνεχή κλάσματα7.8 Συνεχή κλάσματα και παραγοντοποίηση7.9 Το συνεχές κλάσμα του e7.10 Ιστορικά στοιχεία8 Η εξίσωση του Pell 8.1 Εισαγωγή8.2 Η εξίσωση του Pell8.3 Η γενικευμένη εξίσωση του Pell8.4 Ιστορικά στοιχεία9 Τετραγωνικές μορφές 9.1 Εισαγωγή9.2 Ισοδύναμες τετραγωνικές μορφές 9.3 Παράσταση ακεραίων9.4 Το πλήθος των παραστάσεων9.5 Ιστορικά στοιχεία10 Τετραγωνικά σώματα αριθμών 10.1 Η αριθμητική της περιοχής του Gauss10.2 Ακέραιοι αλγεβρικοί αριθμοί 10.3 Βάση και διακρίνουσα10.4 Η ομάδα των μονάδων10.5 Νόμος Ανάλυσης στα τετραγωνικά σώματα αριθμών10.6 Ιδεώδη και αριθμός κλάσεων10.7 Εφαρμογές
Keywords: Number theory; Πρώτοι αριθμοί; Ψευδοπρώτοι; Λ-Σειρές; Σύμβολο Γιακοβι; Σύμβολο Λεζαντρε; Αριθμοί Καρμικαελ; Φιμπονατσι και Λουκα αριθμοί; Αριθμός κλάσεων Ιδεωδών; Νόμος ανάλυσης; Θεμελιώσης μονάδα; Διακρίνουσα; Βάση ακεραιότητας; Κωδικοποίηση; Τετραγωνικά σώματα αριθμών; Τετραγωνικές μορφές; Εξίσωση του Πελλ; Συνεχή κλάσματα; Κρυπτογραφία; Παραγοντοποίηση; Τέστ ελέγχου πρώτων αριθμών; Δείκτες; Αρχικές ρίζες; Νόμος τετραγωνικής αντιστροφής; Τετραγωνικά υπόλοιπα; Ισοτιμίες; Διοφαντικές εξισώσεις; Μαθηματικά -- Θεωρία αριθμών