Στοιχειώδης διαφορική γεωμετρία - Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας; Παπαντωνίου, Βασίλης (Αθήνα : Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών, 2015)
Το βιβλίο απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές και αναφέρεται στην κλασική διαφορική γεωμετρία καμπυλών και επιφανειών, δηλαδή την διαφορική γεωμετρία "κατά Gauss". Θα είναι γραμμένο με τρόπο ώστε με κατάλληλη έμφαση σε διάφορα θέματα από τον διδάσκοντα, να μπορει να καλυφθεί σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα.Πολύ συνοπτικά το περιεχόμενο του βιβλίου θα είναι το εξής:Θα περιγράφονται η καμπυλότητα και η στρέψη καμπυλών και στη συνέχεια θα παρουσιάζεται η θεωρία των κανονικών επιφανειών στον Ευκλείδειο χώρο R^3. Θα χρησιμοποιείται με ήπιο τρόπο η ορολογία των χαρτών, ώστε να προετοιμάζεται ο αναγνώστης για την σύγχρονη διαφορική γεωμετρία. Στη συνέχεια, θα ορίζεται ο τελεστής σχήματος, η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα μιας κανονικής επιφάνειας. Η προσέγγιση θα χρησιμοποιεί βασή γραμμική άλγεβρα.Θα συζητηθεί το λεπτό θέμα της συναλλοίωτης παραγώγου και της παραλληλίας καθώς και των γεωδαισιακών καμπυλών. Τέλος, θα γίνει μια σύντομη παρουσίαση στις επιφάνειες ελάχιστης έκτασης μέσω λογισμού των μεταβολών, καθώς και παρουσίαση της σύνδεσης γεωμετρίας και τοπολογίας μέσω του θεωρήματος Gauss-Bonnet.
ΠρόλογοςΕισαγωγή1 Καμπύλες στο επίπεδο και στον χώρο Καμπύλες στο επίπεδο R^2Εφαπτομένη καμπύληςΚαμπύλες στον χώρο R^3Εξωτερικό και μικτό γινόμενοΛυμένα παραδείγματαΑσκήσεις2 Κανονικές επιφάνειεςΛείες απεικονίσειςΛυμένα παραδείγματαΑσκήσεις3 Ο εφαπτόμενος χώροςΤο διαφορικό μιας διαφορίσιμης απεικόνισηςΛυμένα παραδείγματαΑσκήσεις4 Η πρώτη θεμελιώδης μορφήΛυμένα παραδείγματαΑσκήσεις5 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότηταΠαράλληλες επιφάνειεςΛυμένα παραδείγματαΑσκήσεις6 Το Θαυμαστό ΘεώρημαΛυμένα παραδείγματαΑσκήσεις7 Οι εξισώσεις Codazzi και GaussΛυμένα παραδείγματαΑσκήσεις8 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλίαΑσκήσεις9 Γεωδαισιακές καμπύλεςΓεωδαισιακή καμπυλότηταΤο Θεώρημα ClairautΓεωδαισιακές μέσω λογισμού μεταβολώνΗ εκθετική απεικόνιση Λυμένα παραδείγματαΑσκήσεις10 Το Θεώρημα Gauss-BonnetΛυμένα παραδείγματαΑσκήσεις11 Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας GaussΚλειστές επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας GaussΕπιφάνειες με θετική καμπυλότητα GaussΕπιφάνειες με μηδενική καμπυλότητα GaussΕπιφάνειες με αρνητική καμπυλότητα GaussΜη κλειστές επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας GaussΑσκήσεις
Keywords: Geometry, Differential; Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Γκάους; Γεωδαισιακή καμπύλη; Το θεώρημα των Γκάους-Μπονέ; Επιφάνεια ελάχιστης έκτασης; Συναλλοίωτη παράγωγος; Το θαυμαστό θεώρημα; Καμπυλότητα Γκάους; Απεικόνιση Γκάους; Καμπυλότητα; Επιφάνεια; Καμπύλη; Μαθθηματικά -- Διαφορική Γεωμετρία -- Κλασική διαφορική γεωμετρία